Question

17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B₁，B₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右、下、上頂點，F是橢圓C的右焦點．若B₂F⊥AB₁，則橢圓C的離心率是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由B₂F⊥AB₁，可得$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=0，即可得出．

解答 解：F（c，0），A（a，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），
∴$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=（-c，b），$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=（a，b），
∵B₂F⊥AB₁，∴$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=-ac+b²=0，
∴a²-c²-ac=0，
化為：e²+e-1=0，0＜e＜1．
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．