Question

12．已知函數$f（x）=lg（\sqrt{4{x^2}+b}+2x）$，其中b是常數．
（1）若y=f（x）是奇函數，求b的值；
（2）求證：y=f（x）是單調增函數．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性以及對數函數的性質求出b的值即可；
（2）根據函數單調性的定義判斷函數的單調性即可．

解答 解：（1）設y=f（x）的定義域為D，
∵y=f（x）是奇函數，∴對任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，
得b=1，此時，$f（x）=lg（\sqrt{4{x^2}+1}+2x）$，D=R，為奇函數．
（2）設定義域內任意x₁＜x₂，
$h（x）=\sqrt{4{x^2}+b}+2x$，$h（{x_1}）-h（{x_2}）=\sqrt{4x_1^2+b}+2{x_1}-\sqrt{4x_2^2+b}-2{x_2}$
=$2[\frac{2x_1^2-2x_2^2}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}+{x_1}-{x_2}]$=$2（{x_1}-{x_2}）[\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}+1]$
當b≤0時，總有0＜x₁＜x₂，$\sqrt{4x_1^2+b}≤2{x_1}$，$\sqrt{4x_2^2+b}≤2{x_2}$，
∴$\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}≥1$，得h（x₁）＜h（x₂），
當b＞0時，∵x₁-x₂＜0，$\sqrt{4x_1^2+b}＞2{x_1}$，$\sqrt{4x_2^2+b}＞2{x_2}$，
∴$-1＜\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}＜1$，得h（x₁）＜h（x₂），
故總有f（x）在定義域上單調遞增．

點評 本題考查了函數的奇偶性、單調性的證明，是一道中檔題．