Question

4．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}ln（x+\frac{1}{4}）$，$g（x）=ln（2x-\frac{1}{2}+t）$，若f（x）≤g（x）在區間[0，1]上恒成立，則（　　）

• A． 實數t有最小值1
• B． 實數t有最大值1
• C． 實數t有最小值$\frac{1}{2}$
• D． 實數t有最大值$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 若對任意的x∈[0，1]，有f（x）≤g（x）恒成立，則g（x）-f（x）≥0恒成立，構造函數h（x）=g（x）-f（x），并將恒成立問題轉化為最值問題，由題意求出t的范圍，可得原函數的導函數在[0，1]上單調遞增，求其最小值，由最小值大于等于0求得t有最小值1．

解答 解：若對任意的x∈[0，1]，有f（x）≤g（x）恒成立，
則對任意的x∈[0，1]，有g（x）-f（x）≥0恒成立，
令h（x）=g（x）-f（x）=$ln（2x-\frac{1}{2}+t）-\frac{1}{2}ln（x+\frac{1}{4}）$，x∈[0，1]，
則h′（x）=$\frac{2}{2x-\frac{1}{2}+t}-\frac{1}{2x+\frac{1}{2}}$=$\frac{2x+\frac{3}{2}+t}{（2x-\frac{1}{2}+t）（2x+\frac{1}{2}）}$，x＞max{$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}-t$}．
由題意可得$\frac{1}{2}-t≤0$，即t$≥\frac{1}{2}$，再由h′（x）=0，可得x=$-\frac{3}{4}-\frac{t}{2}$≤-1，
則h（x）在[0，1]上單調遞增，$h（x）_{min}=h（0）=ln（-\frac{1}{2}+t）-\frac{1}{2}ln\frac{1}{4}≥0$，解得t≥1．
∴實數t有最小值1．
故選：A．

點評 本題考查的知識點是利用導數求閉區間上的函數最值，利用導數研究函數的單調性，熟練掌握導數符號與原函數單調性的關系，是解答的關鍵，是中檔題．