Question

13．已知數列{a_n}滿足S_n=2a_n-1（n∈N^*），{b_n}是等差數列，且b₁=a₁，b₄=a₃．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{a_n}-\frac{2}{{{b_n}{b_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法、等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）S_n=2a_n-1，n≥2時，S_n-1=2a_n-1-1，∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1．
當n=1時，S₁=a₁=2a₁-1，∴a₁=1，
∴a_n是以1為首項，2為公比的等比數列，
∴${a_n}={2^{n-1}}$，
b₁=a₁=1，b₄=a₃=4，∴公差=$\frac{4-1}{3}$=1．
b_n=1+（n-1）=n．
（2）${c_n}=\frac{1}{a_n}-\frac{2}{{{b_n}{b_{n+1}}}}={2^{1-n}}-\frac{2}{{n（{n+1}）}}={2^{1-n}}-2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-2（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-2（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{2}{n+1}-{2^{1-n}}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．