Question

2．設x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥-1}\\{y≥1}\end{array}}\right.$若0≤ax+by≤2恒成立，則a²+b²的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{8}{9}$
• C． $\frac{20}{9}$
• D． 4

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用線性規劃知識，通過0≤ax+by≤2，得到a，b的不等式組，然后求解a²+b²的最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥-1}\\{y≥1}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（2，1），$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$
可得C（0，1），
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$可得B（1，2）．
0≤ax+by≤2恒成立，可得：$\left\{\begin{array}{l}{0≤2a+b≤2}\\{0≤b≤2}\\{0≤a+2b≤2}\end{array}\right.$，
畫出關于a，b的可行域，如圖：
a²+b²的幾何意義是可行域內的點到原點的距離的平方，顯然D到原點的距離最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{2+2b=2}\end{array}\right.$，解得D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）
∴a²+b²的最大值$（-\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}$=$\frac{20}{9}$．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．