(本小題滿分13分)已知函數,
,
是常數.
(1)求函數的圖象在點
處的切線方程;
(2)若函數圖象上的點都在第一象限,試求常數
的取值范圍;
(3)證明:,存在
,使
.
(1);(2)
;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)求出函數f(x)的導數,求出切線的斜率和切點,由點斜式方程即可得到切線方程;
(2)討論a=0,a>0,a<0,運用對數函數的性質,以及分離參數,構造函數應用導數求極值、最值,即可得到a的范圍;(3)設函數,計算g(1),g(e),討論當
或
時,由零點存在定理,即可得證;當
時,求出g(x)的最小值,判斷它小于0,再由零點存在定理,即可得證.
試題解析:【解析】
(1)
,
函數的圖象在點
處的切線為
,即
(2)①時,
,因為
,所以點
在第一象限,依題意,
②時,由對數函數性質知,
時,
,
,從而“
,
”不成立
③時,由
得
,設
,
- | |||
↘ | 極小值 | ↗ |
,從而
,
綜上所述,常數的取值范圍
(3)直接計算知
設函數
,
當或
時,
,
因為的圖象是一條連續不斷的曲線,所以存在
,使
,即
,使
;
當時,
、
,而且
、
之中至少一個為正,由均值不等式知,
,等號當且僅當
時成立,所以
有最小值
,且
,
此時存在(
或
),使
。
綜上所述,,存在
,使
.
考點:1.利用導數研究曲線上某點切線方程;2.導數在最大值、最小值問題中的應用.
科目:高中數學 來源:2015屆甘肅省高三第一次診斷考試文科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
設函數f(x)=若f(a)+f(-1)=2,則a=( )
A.-3 B.±3 C.-1 D.±1
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科目:高中數學 來源:2015屆湖南省衡陽市高三上學期五校聯考理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知是定義在R上的函數
的導函數,且
若
,則下列結論中正確的是 ( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數學 來源:2015屆湖南省衡陽市高三上學期五校聯考文科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數y=f(x)圖象上每個點的縱坐標保持不變,將橫坐標伸長到原來的2倍,然后將整個圖象沿軸向左平移
個單位,得到的圖象與y=
sin x的圖象相同,則y=f(x)的函數表達式為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數學 來源:2015屆湖南省益陽市高三上學期第三次模擬考試理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
對于非零向量,定義一種向量積:
.已知非零向量
,且
都在集合
中。則
= ( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯考文科數學試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,Ox、Oy是平面內相交成120°的兩條數軸,e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量,若向量=xe1+ye2,則將有序實數對(x,y)叫做向量
在坐標系xOy中的坐標.若
=3e1+2e2,則|
|=________;
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