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(本小題滿分13分)已知函數,,是常數.

(1)求函數的圖象在點處的切線方程;

(2)若函數圖象上的點都在第一象限,試求常數的取值范圍;

(3)證明:,存在,使

 

(1);(2);(3)詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)求出函數f(x)的導數,求出切線的斜率和切點,由點斜式方程即可得到切線方程;

(2)討論a=0,a>0,a<0,運用對數函數的性質,以及分離參數,構造函數應用導數求極值、最值,即可得到a的范圍;(3)設函數,計算g(1),g(e),討論當 時,由零點存在定理,即可得證;當 時,求出g(x)的最小值,判斷它小于0,再由零點存在定理,即可得證.

試題解析:【解析】
(1)

函數的圖象在點處的切線為,即

(2)①時,,因為,所以點在第一象限,依題意,

時,由對數函數性質知,時,,,從而“”不成立

時,由,設

極小值

 

,從而

綜上所述,常數的取值范圍

(3)直接計算知

設函數

,

時,,

因為的圖象是一條連續不斷的曲線,所以存在,使,即,使;

時,,而且、之中至少一個為正,由均值不等式知,,等號當且僅當時成立,所以有最小值,且

此時存在),使。

綜上所述,,存在,使.

考點:1.利用導數研究曲線上某點切線方程;2.導數在最大值、最小值問題中的應用.

 

練習冊系列答案
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C. D.

 

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