Question

（本小題滿分13分）已知函數，，是常數．

（1）求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）若函數圖象上的點都在第一象限，試求常數的取值范圍；

（3）證明：，存在，使．

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出函數f（x）的導數，求出切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；

（2）討論a=0，a＞0，a＜0，運用對數函數的性質，以及分離參數，構造函數應用導數求極值、最值，即可得到a的范圍；（3）設函數，計算g（1），g（e），討論當 或 時，由零點存在定理，即可得證；當 時，求出g（x）的最小值，判斷它小于0，再由零點存在定理，即可得證．

試題解析：【解析】
（1） ，

函數的圖象在點處的切線為，即

（2）①時，，因為，所以點在第一象限，依題意，

②時，由對數函數性質知，時，，，從而“，”不成立

③時，由得，設，

	－
	↘	極小值	↗

 

，從而，

綜上所述，常數的取值范圍

（3）直接計算知

設函數

，

當或時，，

因為的圖象是一條連續不斷的曲線，所以存在，使，即，使；

當時，、，而且、之中至少一個為正，由均值不等式知，，等號當且僅當時成立，所以有最小值，且

，

此時存在（或），使。

綜上所述，，存在，使.

考點：1.利用導數研究曲線上某點切線方程；2.導數在最大值、最小值問題中的應用．