Question

11．中石化集團獲得了某地深海油田區塊的開采權，集團在該地區隨機初步勘探了部分兒口井，取得了地質資料．進入全面勘探時期后，集團按網絡點來布置井位進行全面勘探．由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質資料，不必打這口新井，以節約勘探費用．勘探初期數據資料見如表：

井號I	1	2	3	4	5	6
坐標（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
鉆探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（Ⅰ）1～6號舊井位置線性分布，借助前5組數據求得回歸直線方程為y=6.5x+a，求a，并估計y的預報值；
（Ⅱ）現準備勘探新井7（1，25），若通過1、3、5、7號井計算出的$\widehatb，\widehata$的值（$\widehatb，\widehata$精確到0.01）相比于（Ⅰ）中b，a的值之差不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井6（1，y），否則在新位置打開，請判斷可否使用舊井？
（參考公式和計算結果：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x•\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x^2}_i}-n{{\overline x}^2}}}，\widehata=\overline y-\widehatb\overline x，\sum_{i=1}^4{{x^2}_{2i-1}=94，}\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}=945}$）
（Ⅲ）設出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探并稱為優質井，那么在原有井號1～6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井，求恰好2口是優質井的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，由回歸直線必過平衡點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），求出回歸直線方程，由此能求出當x=1時，y的預報值．
（Ⅱ）先分別求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\widehat{b}$，$\widehat{a}$，由此能求出使用位置接近的已有舊井．
（Ⅲ）由題意知原有出油量不低于50L的井中，3，5，6這3口井是優質井，2，4這兩口井是非優質井，由此能求出恰有2口是優質井的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
回歸直線必過平衡點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），
則a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=50-6.5×5=17.5，
∴回歸直線方程為y=6.5x+17.5，
當x=1時，y=6.5+17.5=24，即y的預報值為24．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，∴$\widehat{b}$=$\frac{945-4×4×46.25}{94-4×42}$≈6.83，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=46.25-6.83×4=18.93，
∴$\frac{\widehat{b}-b}{b}$≈5%，$\frac{\widehat{a}-a}{a}$≈8%，均不超過10%，
∴使用位置接近的已有舊井6（1，24）．
（Ⅲ）由題意知原有出油量不低于50L的井中，3，5，6這3口井是優質井，
2，4這兩口井是非優質井，
由題意從這口井中，隨機選3口，基本事件總數n=${C}_{5}^{3}$=10，
恰有2口是優質井包含怕基本事件個數m=${C}_{3}^{1}$${C}_{2}^{1}$=6，
∴恰有2口是優質井的概率P=$\frac{m}{n}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查回歸直線方程的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．