Question

11．已知函數g（x）=2ax²-4ax+2+2b（a＞0），在區間[2，3]上有最大值8，有最小值2，設f（x）=$\frac{g（x）}{2x}$．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）若方程f（|e^x-1|）+$k（\frac{2}{{|{e^x}-1|}}-3）$=0有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組即可求出a，b．
（2）求出f（x）=$\frac{g（x）}{2x}$的表達式，令2^x=t，不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為：$\frac{{{t^2}-2t+1}}{t}-k•t≥0$，轉化求解k的范圍即可．
（3）令m=|e^x-1|，則方程$f（|{e^x}-1|）+k（\frac{2}{{|{e^x}-1|}}-3）=0$有三個不同的實數解?關于m的方程有兩個不等的根，其中一個根大于或等于1，另一個根大于0且小于1；推出1²-（2+3k）•1+1＜0，求解即可．

解答 解：（1）函數g（x）=2ax²-4ax+2+2b（a＞0），的對稱軸為：x=1∉[2，3]，
由條件在區間[2，3]上有最大值8，有最小值2，
得：$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ g（2）=2+b=2\\ g（3）=18a-12a+2+b=8\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
（2）g（x）=2x²-4x+2，∴$f（x）=\frac{{{x^2}-2x+1}}{x}$
令2^x=t，∵x∈[-1，1]，∴$t∈[\frac{1}{2}，2]$
不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為：$\frac{{{t^2}-2t+1}}{t}-k•t≥0$
問題等價于$\frac{{{t^2}-2t+1}}{t}-k•t≥0$在$t∈[\frac{1}{2}，2]$時恒成立，
即：$k≤{（\frac{1}{t}）^2}-2•\frac{1}{t}+1$在$t∈[\frac{1}{2}，2]$時恒成立，而此時$\frac{1}{t}∈[\frac{1}{2}，2]$
所以k≤0．
注：用二次函數（1-k）t²-2t+1≥0討論，相應給分．
（3）令m=|e^x-1|，則方程$f（|{e^x}-1|）+k（\frac{2}{{|{e^x}-1|}}-3）=0$有三個不同的實數解?關于m的方程$f（m）+k（\frac{2}{m}-3）=0$有兩個不等的根，
其中一個根大于或等于1，另一個根大于0且小于1；$f（m）+k（\frac{2}{m}-3）=0$可化為：$\frac{{{m^2}-2m+1}}{m}+k（\frac{2}{m}-3）=0$
化簡得：m²-（2+3k）m+1=0，當一根等于1時，k=0不滿足題意
所以它的兩根分別介于（0，1）和（1，+∞），又因為m=0時，1＞0恒成立
所以只要1²-（2+3k）•1+1＜0
∴k＞0為所求的范圍．

點評 本題考查函數恒成立，二次函數的簡單性質的應用，考查轉化思想以及構造法換元法的應用，考查計算能力．