Question

6．已知函數f_M（x）的定義域為實數集R，滿足f_M（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x∈M\\ 0，x∉M\end{array}$（M是R的非空真子集），在R上有兩個非空真子集A，B，且A∩B=ϕ，則F（x）=$\frac{{{f_{A∪B}}（x）+1}}{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}$的值域為$\{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\}$．

Answer 1

分析 對F（x）中的x屬于什么集合進行分類討論，利用題中新定義的函數求出f（x）的函數值，從而得到F（x）的值域即可．

解答 解：當x∈C_R（A∪B）時，f_A∪B（x）=0，f_A（x）=0，
f_B（x）=0，
∴F（x）=$\frac{0+1}{0+0+2}$=$\frac{1}{2}$；
同理得：當x∈B時或x∈A時，F（x）=$\frac{1+1}{1+1+1}$=$\frac{2}{3}$；
故F（x）=$\frac{{{f_{A∪B}}（x）+1}}{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}$的值域為{$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$}
故答案為：{$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$}．

點評 本題主要考查了函數的值域、分段函數，解答關鍵是對于新定義的函數f_M（x）的正確理解，屬于創新型題目．