Question

4．已知直線l：y=$\sqrt{3}$x+4，動圓O：x²+y²=r²（1＜r＜2），菱形ABCD的一個內角為60°，頂點A，B在直線l上，頂點C，D在圓O上．當r變化時，菱形ABCD的面積S的取值范圍是（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，6$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 設AB=a，直線CD的方程為y=$\sqrt{3}$x+b，則圓心到直線的距離為d=$\frac{\left|b\right|}{2}$＜r，進而可得b的范圍，結合$\frac{|b-4|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，可得a的范圍，再由菱形ABCD的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，得到答案．

解答 解：設AB=a，直線CD的方程為y=$\sqrt{3}$x+b，
則圓心到直線的距離為d=$\frac{\left|b\right|}{2}$＜r，
又由1＜r＜2，
∴-2＜b＜4，且b≠1
∵$\frac{|b-4|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴b=4-$\sqrt{3}$a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4-b）
∴0＜a＜$\sqrt{3}$，或$\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，6$\sqrt{3}$），
故答案為：（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，6$\sqrt{3}$）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，本題轉化比較困難，參數的范圍抽象不易理解，屬于難題．