Question

5．設實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2≥0}\\{x+2y+1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則z=（x+1）²+（y-2）²的最小值是$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義即可得到結論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2≥0}\\{x+2y+1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$對應的平面區域，
則z的幾何意義為區域內點P到點D（-1，2）的距離平方的最小值；
由圖象可知，當DP垂直于直線x+2y+1=0時，
此時DP最小，|DP|=$\frac{|-1+4+1|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
則z=|DP|²=$\frac{16}{5}$，
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點評 本題主要考查線性規劃的應用以及點到直線的距離公式的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．