Question

16．數列{a_n}是等差數列，若公差d≠0，a₁=1，且a₃是a₁，a₉的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）若對任意的n∈N^*，不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≥λ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等比數列與等差數列的通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法與數列的單調性即可得出．

解答 解：（1）∵a₃是a₁，a₉的等比中項．
∴$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+8d），即（1+2d）²=1+8d，d≠0，解得d=1．
∴通項公式a_n=1+（n-1）=n．
（2）由通項公式知：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∵對任意的n∈N^*，不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+≥λ恒成立，
∴$λ≤\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等比數列與等差數列的通項公式、“裂項求和”方法、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．