Question

15．已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，O為坐標原點，A、B分別為橢圓上兩點，且OA⊥OB，則$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 方法一由OA⊥OB，則x₁•x₂+y₁•y₂=0，設AB方程：y=kx+m，代入橢圓方程，由韋達定理及直線方程求得x₁•x₂及y₁•y₂，代入可得$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，由點到直線的距離公式d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，因此$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{丨OA{丨}^{2}+丨OB{丨}^{2}}{丨{OA丨}^{2}•丨OB{丨}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•p9vv5xb5^{2}}$=$\frac{1}{p9vv5xb5^{2}}$=$\frac{3}{2}$；
方法二，建立極坐標系，將橢圓方程轉化成極坐標方程，由題意可知：A（ρ₁，α），B（ρ₂，α+$\frac{π}{2}$），代入橢圓方程，由∴$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}α}{2}+si{n}^{2}α$+$\frac{co{s}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$+sin²（α+$\frac{π}{2}$），根據誘導公式及同角三角函數基本關系，即可求得$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值

解答 解：方法一，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁•x₂+y₁•y₂=0
設AB方程：y=kx+m代入橢圓：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²，
化簡得：3m²=2（1+k²）
∴$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴點O到直線AB的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{丨OA{丨}^{2}+丨OB{丨}^{2}}{丨{OA丨}^{2}•丨OB{丨}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•p9vv5xb5^{2}}$=$\frac{1}{p9vv5xb5^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
方法二，以O為極點，Ox為極軸，長度單位不變，建立極坐標系，
則x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，可得：$\frac{1}{{ρ}^{2}}=\frac{co{s}^{2}θ}{2}+si{n}^{2}θ$，
∵OA⊥OB，
設A（ρ₁，α），B（ρ₂，α+$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}α}{2}+si{n}^{2}α$+$\frac{co{s}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$+sin²（α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，向量數量積的坐標表示，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．