Question

【題目】數列是等比數列，公比大于0，前項和，是等差數列，已知，，，．

（Ⅰ）求數列，的通項公式，；

（Ⅱ）設的前項和為

（ⅰ）求；

（ⅱ）若，記，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）（i）；（ii），．

【解析】

（Ⅰ）由等比數列的定義求得公比，得通項公式，再由等差數列的定義求得和，得；

（Ⅱ）（ⅰ）由等比數列前項和公式求得，由分組求和法求得，（ⅱ）求得后，用裂項相消法求得，結合函數性質可得取值范圍．

解：（Ⅰ）設數列的公比為，因為，，可得，整理得，

解得（舍或 ，所以數列通項公式為．

設數列的公差為，因為，，即，解得，，

所以數列的通項公式為；

（Ⅱ）（ⅰ）由等比數列的前項和公式可得，

所以；

（ⅱ）由（ⅰ）可得，

所以的前項和．

又在上是遞增的，．

所以的取值范圍為，．