【題目】已知函數
在定義域內有兩個不同的極值點.
（1）求
的取值范圍;
（2）設兩個極值點分別為：
，
，證：
.
【答案】（1）
.（2）見解析
【解析】
（1）由題得
，令
，則函數
在定義域內有兩個不同的極值點等價于
在區間
內至少有兩個不同的零點，再利用導數得到
，解不等式即得解；
（2）分析得到要證：
，只需證明
，即證
，不妨設
，即證
，構造函數構造函數
，其中
，證明
即得證.
（1）由題意可知，的定義域為，
且，
令，
則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于在區間內至少有兩個不同的零點.
由
可知，
當
時，
恒成立，即函數在上單調，不符合題意，舍去.
當
時，由
得，
，即函數在區間
上單調遞增；
由得，
，即函數在區間
上單調遞減；
故要滿足題意，必有，解得.
（2）證明：由（1）可知，
，
故要證，
只需證明，
即證，不妨設，即證，
構造函數，其中，
由
，
所以函數
在區間
內單調遞減，所以得證.
即證.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】流行病學資料顯示，
歲以上男性靜息心率過高將會增加患心血管疾病的風險，相反，靜息心率相對穩定的到
歲的男性，在未來
年內患心血管疾病的幾率會降低
.研究員們還表示，其中靜息心率超過
（次/分）的人比靜息心率低于
的人罹患心血管疾病的風險高出一倍.某單位對其所有的離、退休老人進行了靜息心率監測，其中一次靜息心率的莖葉圖和頻率分布直方圖如下，其中，頻率分布直方圖的分組區間分別為
、
、
、
、
，由于掃描失誤，導致部分數據丟失.據此解答如下問題：
（1）求此單位離、退休人員總數和靜息心率在
之間的頻率；
（2）現從靜息心率在之間的數據中任取
份分析離、退休人員身體情況，設抽取的靜息心率在的份數為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
是等比數列，公比大于0，前
項和
，
是等差數列，已知
，
，
，
．
（Ⅰ）求數列，的通項公式
，
；
（Ⅱ）設
的前項和為
（ⅰ）求
；
（ⅱ）若
，記
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
： 
上， 
是橢圓的一個焦點．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）橢圓C上不與
點重合的兩點
， 
關于原點O對稱，直線
， 
分別交
軸于
， 
兩點．求證：以
為直徑的圓被直線
截得的弦長是定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了更好地支持“中小型企業”的發展，某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免，某機構調查了當地的中小型企業年收入情況，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結論：
①樣本數據落在區間
的頻率為0.45；
②如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策，估計有55%的當地中小型企業能享受到減免稅政策；
③樣本的中位數為480萬元.
其中正確結論的個數為（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《普通高中數學課程標準（2017版）》提出了數學學科的六大核心素養.為了比較甲、乙兩名高二學生的數學核心素養水平，現以六大素養為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優），則下面敘述正確的是（ ）
A.甲的數據分析素養高于乙
B.甲的數學建模素養優于數學抽象素養
C.乙的六大素養中邏輯推理最差
D.乙的六大素養整體平均水平優于甲
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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