【題目】已知
.
（1）當
時，求證：
；
（2）若
有三個零點時，求
的范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】分析：（1）令
，
，
，利用導數可得
在上單調遞減，
，從而可得結論; （2）
有三個零點等價于
有三個零點，當
時，當
時，可得
是單調函數，至多有一個零點，不符合題意，當
時，利用導數研究函數的單調性，根據單調性，結合函數圖象可得
的范圍是.
詳解：（1）證明：
，
令，，，
，
在上單調遞減，，
所以原命題成立.
（2）由
有三個零點可得
有三個零點，
，
①當時，
恒成立，可得至多有一個零點，不符合題意；
②當時，
恒成立，可得至多有一個零點，不符合題意；
③當時，記
得兩個零點為
，
，不妨設
，且
，
時，
；
時，；
時，
觀察可得
，且
，
當時，；單調遞增，
所以有
，即
，
時，，單調遞減，
時，單調遞減，
由（1）知，
，且
，所以在
上有一個零點，
由
，且
，所以在
上有一個零點，
綜上可知有三個零點，
即
有三個零點，
所求的范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直角坐標系中，圓的方程為
，
，
，
為圓上三個定點，某同學從
點開始，用擲骰子的方法移動棋子．規定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個定點沿圓弧移動到相鄰下一個定點；②棋子移動的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點數為偶數，則按圖中箭頭方向移動；若擲出骰子的點數為奇數，則按圖中箭頭相反的方向移動．設擲骰子
次時，棋子移動到，
，
處的概率分別為
，
，
．例如：擲骰子一次時，棋子移動到，，處的概率分別為
，
，
．
（1）分別擲骰子二次，三次時，求棋子分別移動到，，處的概率；
（2）擲骰子
次時，若以
軸非負半軸為始邊，以射線
，
，
為終邊的角的余弦值記為隨機變量
，求
的分布列和數學期望；
（3）記
，
，
，其中
．證明：數列
是等比數列，并求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
是等比數列，公比大于0，前
項和
，
是等差數列，已知
，
，
，
．
（Ⅰ）求數列，的通項公式
，
；
（Ⅱ）設
的前項和為
（ⅰ）求
；
（ⅱ）若
，記
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2021年起，我省將實行“3+1+2”高考模式，某中學為了解本校學生的選考情況，隨機調查了100位學生，其中選考化學或生物的學生共有70位，選考化學的學生共有40位，選考化學且選考生物的學生共有20位．若該校共有1500位學生，則該校選考生物的學生人數的估計值為（ ）
A.300B.450C.600D.750
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
： 
上， 
是橢圓的一個焦點．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）橢圓C上不與
點重合的兩點
， 
關于原點O對稱，直線
， 
分別交
軸于
， 
兩點．求證：以
為直徑的圓被直線
截得的弦長是定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了更好地支持“中小型企業”的發展，某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免，某機構調查了當地的中小型企業年收入情況，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結論：
①樣本數據落在區間
的頻率為0.45；
②如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策，估計有55%的當地中小型企業能享受到減免稅政策；
③樣本的中位數為480萬元.
其中正確結論的個數為（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《普通高中數學課程標準（2017版）》提出了數學學科的六大核心素養.為了比較甲、乙兩名高二學生的數學核心素養水平，現以六大素養為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優），則下面敘述正確的是（ ）
A.甲的數據分析素養高于乙
B.甲的數學建模素養優于數學抽象素養
C.乙的六大素養中邏輯推理最差
D.乙的六大素養整體平均水平優于甲
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，四邊形ACFE為梯形，EF//AC，點E在平面ABCD上的射影為OA的中點，AE與平面ABCD所成角為45°.
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）求平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值.
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