【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若方程
存在兩個不同的實數根
， 
，證明： 
.
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【解析】試題分析：
（1）先求得函數的定義域為
，由
及對
取值的討論可得當
時， 
在區間
上單調遞增；當
時， 
在區間
上單調遞增，在區間
上單調遞減.（2）設
， 
，可得
， 
。故原不等式可化為證
，等價于
。在此基礎上，令
，轉化為證
成立，構造函數
，通過單調性可得不等式成立。
試題解析：
（1）函數
的定義域為
，
∵
∴
.
①當
時， 
，故
在區間
上單調遞增.
②當
時，
則當
時， 
， 
上單調遞增；
當
時， 
， 
上單調遞減。
綜上，當
時， 
在區間
上單調遞增；
當
時， 
在區間
上單調遞增，在區間
上單調遞減.
（2）由方程
存在兩個不同的實數根
， 
，可設
，
∵
， 
，
∴
，
∴
.
要證
，只需證
，等價于
，
設
，則上式轉化為
，
設
，
則
，
∴
在
上單調遞增，
∴
，
∴
，
∴
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點
，焦點在
軸上，短軸長為
，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，過右焦點
與
軸不垂直的直線交橢圓于
， 
兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程．
（Ⅱ）當直線
的斜率為
時，求
的面積．
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得經
， 
為領邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出
的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸，焦距為2，且長軸長是短軸長的
倍．
(Ⅰ)求橢圓E的標準方程；
(Ⅱ)設P(2，0)，過橢圓E左焦點F的直線l交E于A、B兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式
≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的方程為
（
， 
為常數）.
（1）判斷曲線
的形狀；
（2）設曲線
分別與
軸， 
軸交于點
， 
（
， 
不同于原點
），試判斷
的面積
是否為定值？并證明你的判斷；
（3）設直線
： 
與曲線
交于不同的兩點
， 
，且
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心在原點，焦點在 
軸上的橢圓
過點
，離心率為
， 
， 
是橢圓
的長軸的兩個端點（
位于
右側），
是橢圓在
軸正半軸上的頂點.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）是否存在經過點
且斜率為
的直線
與橢圓
交于不同兩點
和
，使得向量
與
共線？如果存在，求出直線方程；如果不存在，請說明理由.
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