【題目】已知曲線
.
(1)若曲線C在點
處的切線為
，求實數
和
的值；
(2)對任意實數
，曲線
總在直線
:
的上方，求實數
的取值范圍.
【答案】(1)
，
，(2)
．
【解析】
試題分析：(1)根據導數幾何意義，所以
.因為
，所以.因為
過點
，所以，(2)由題意得：不等式
恒成立，恒成立問題一般轉化為最值問題.一是分類討論求函數
最小值，二是變量分離為
恒成立，求函數
最小值.兩種方法都是
，然后對實數a進行討論，當
時，
，所以.當
時,由
得
，不論
還是
，
都是先減后增，即
的最小值為
，所以.
試題解析：解
（1）， 2分
因為曲線C在點（0，1）處的切線為L：
，
所以
且
. 4分
解得， -5分
（2）法1：
對于任意實數a，曲線C總在直線的
的上方，等價于
x,
，都有
，
即x,
R，恒成立， 6分
令， 7分
①若a=0，則，
所以實數b的取值范圍是； 8分
②若
,，
由得， 9分
的情況如下：
|
| 0 |
|
|
| 0 | + |
|
| 極小值 |
|
11分
所以的最小值為， 12分
所以實數b的取值范圍是；
綜上，實數b的取值范圍是． 13分
法2：對于任意實數a，曲線C總在直線的的上方，等價于
x,，都有，即
x,
R，恒成立， 6分
令
，則等價于
，
恒成立，
令
，則
， 7分
由
得
， 9分
的情況如下：
|
| 0 |
|
|
| 0 | + |
|
| 極小值 |
|
-11分
所以
的最小值為
， 12分
實數b的取值范圍是． 13分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市根據地理位置劃分成了南北兩區，為調查該市的一種經濟作物
（下簡稱
作物）的生長狀況，用簡單隨機抽樣方法從該市調查了 500 處 
作物種植點，其生長狀況如表：
其中生長指數的含義是：2 代表“生長良好”，1 代表“生長基本良好”，0 代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，絕收”．
（1）估計該市空氣質量差的
作物種植點中，不絕收的種植點所占的比例；
（2）能否有 99%的把握認為“該市
作物的種植點是否絕收與所在地域有關”？
（3）根據（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該市
作物的種植點中，絕收種植點的比例？請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，等腰梯形
中， 
， 
于點
， 
，且
．沿
把
折起到
的位置（如圖
），使
．
（I）求證： 
平面
．
（II）求三棱錐
的體積．
（III）線段
上是否存在點
，使得
平面
，若存在，指出點
的位置并證明；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的標準方程為
，離心率
，且橢圓經過點
．過右焦點
的直線
交橢圓
于
， 
兩點．
（Ⅰ）求橢圓
的方程．
（Ⅱ）若
，求直線
的方程．
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得以
， 
為鄰邊的四邊形
是菱形，且點
在橢圓上．若存在，求出
的值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列
的前
項和為
， 
， 
為整數，且對任意
都有
．
（1）求
的通項公式；
（2）設
， 
求
的前
項和
；
（3）在（2）的條件下，若數列
滿足
．是否存在實數
，使得數列
是單調遞增數列．若存在，求出
的取值范圍；若不存在，說明理由．
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