Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（1）若m=-$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ；
（2）設$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．
①求實數m的值；
②若存在非零實數k，t，使得[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$]⊥（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$），求$\frac{k+{t}^{2}}{t}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數量積的定義求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$的值，可得θ的值．
（2）①利用兩個向量垂直的性質，求得m的值．
②根據[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$]•（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=0，求得4k=t（t²-3），從而求得 $\frac{k+{t}^{2}}{t}$=$\frac{{（t+2）}^{2}-7}{4}$，再利用二次函數的性質求得它的最小值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（m，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），若m=-$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ，
則有cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\sqrt{3}•\frac{1}{2}-1•\frac{\sqrt{3}}{2}}{2•1}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{5π}{6}$．
（2）①設$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{m}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，∴m=$\sqrt{3}$．
②由①可得，$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，
若存在非零實數k，t，使得[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$]⊥（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$），故有[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$]•（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=0，
∴-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+[-k（t²-3）+t]$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+t（t²-3）${\overrightarrow{b}}^{2}$=-k•4+0+t（t²-3）=0，∴4k=t（t²-3），
∴$\frac{k+{t}^{2}}{t}$=$\frac{{t}^{2}-3}{4}$+t=$\frac{{t}^{2}+4t-3}{4}$=$\frac{{（t+2）}^{2}-7}{4}$≥-$\frac{7}{4}$，當且僅當t=-2時，取等號，
故$\frac{k+{t}^{2}}{t}$的最小值為-$\frac{7}{4}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的運算，兩個向量垂直的性質，二次函數的性質應用，屬于中檔題．