Question

6．已知函數f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-tanα•cosx，且f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求tanα的值；
（2）求函數g（x）=f（x）+cosx的對稱軸與對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-tanα•cosx，結合f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得tanα的值；
（2）函數g（x）=f（x）+cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），結合正弦函數的對稱性，可得函數的對稱軸方程和對稱中心坐標．

解答 解：（1）∵函數f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-tanα•cosx，
∴f（$\frac{π}{3}$）=1-$\frac{1}{2}$tanα=$\frac{1}{2}$．
∴tanα=1；
（2）由（1）得f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cosx，
∴函數g（x）=f（x）+cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），
由x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函數g（x）的對稱軸方程為：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z得：x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函數g（x）的對稱中心坐標為：（kπ-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．

點評 本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換應用，正弦函數的圖象和性質，難度中檔．