Question

1．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列幾種說法正確的是（　　）

• A． A₁B∥D₁B
• B． AC₁⊥B₁C
• C． A₁B與平面DBD₁B₁成角為45°
• D． A₁B，B₁C成角為30°

Answer 1

分析 由圖可知A錯誤；由線面垂直的判定與性質可B正確；分別求出線面角及異面直線所成角判定C、D錯誤．

解答 解：如圖，
A₁B∩D₁B=B，故A錯誤；
連接BC₁，則BC₁⊥B₁C，又AB⊥B₁C，AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁，則AC₁⊥B₁C，故B正確；
連接A₁C₁，交B₁D₁=O，連接BO，則∠A₁BO為A₁B與平面DBD₁B₁成角，
在Rt△A₁OB中，sin$∠{A}_{1}BO=\frac{1}{2}$，∴A₁B與平面DBD₁B₁成角為30°，故C錯誤；
連接A₁D，則A₁D∥B₁C，連接BD，可得△A₁BD為等邊三角形，則∠A₁DB為60°，
即A₁B，B₁C成角為60°，故D錯誤．
故選：B．

點評 本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關系，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．