Question

7．下列四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題，正確的是（　　）
①?gòu)碾p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于它的虛半軸長(zhǎng)；
②已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條線段；
③關(guān)于x的方程x²-mx+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1有共同的焦點(diǎn)．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①，設(shè)焦點(diǎn)（±c，0）到漸近線bx±ay=0的距離等于$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=b$；
②，PM|+|PN|=3＜4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在；
③，方程x²-mx+1=0（m＞2）的兩根之和大于2，兩根之積等于1，故兩根中，一根大于1，一根大于0小于1；
④，雙曲線的焦點(diǎn)是（±5，0），橢圓的焦點(diǎn)是（±$\sqrt{7}$，0），故不正確；

解答 解：對(duì)于①，設(shè)焦點(diǎn)（±c，0）到漸近線bx±ay=0的距離等于$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=b$，正確；
對(duì)于②，已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3＜4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在，故不正確；
對(duì)于③，方程x²-mx+1=0（m＞2）的兩根之和大于2，兩根之積等于1，故兩根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．正確；
對(duì)于④，雙曲線的焦點(diǎn)是（±5，0），橢圓的焦點(diǎn)是（±$\sqrt{7}$，0），故不正確；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率等知識(shí)，是中檔題．