Question

5．過拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點F作斜率為-1的直線l，l與離心率為e的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的兩條漸近線的交點分別為B，C．若x_B，x_C，x_F分別表示B，C，F的橫坐標，且$x_F^2=-{x_B}•{x_C}$，則e=（　　）

• A． 6
• B． $\sqrt{6}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點F（a，0），所以直線y=-x+a與y=±$\frac{b}{a}$交于B、C兩點，求出B、C的橫坐標，再根據 且$x_F^2=-{x_B}•{x_C}$，建立關于a、b的等式解出b²=2a²，可得此雙曲線的離心率．

解答 解：過拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點F作斜率為-1的直線l，直線方程為y=-x+a，
∵雙曲線的漸近線為y=±$\frac{b}{a}$x，
∴直線y=-x+a與漸近線的交點橫坐標分別為x_B=$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，x_B=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，x_F=a，
∵$x_F^2=-{x_B}•{x_C}$，
∴a²=-$\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
解得2a²=b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
故選：D

點評 本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了直線的交點坐標、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．