Question

7．已知函數f（x）=x³+bx²+cx在x=1處的切線方程為12x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）若方程f（x）-m=0有三個解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據導數幾何意義，導數的幾何意義、切點坐標的應用，得到關于b，c的方程組，解得即可．
（2）利用導數求出函數的單調區間，可得函數的極值，利用方程f（x）-m=0有三個解，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²+2bx+c，
∴k=f'（1）=3+2b+c=-12①，
又∵f（1）=-11，∴-，11=1+b+c②，
由①②解得：b=-3，c=-9；
（2）f'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在（-∞，-1）單調遞增，在（-1，3）單調遞減，在（3，+∞）單調遞增．
∴f（x）得極大值f（-1）=5，極小值為f（3）=-27，
∵方程f（x）-m=0有三個解，
∴-27＜m＜5．

點評 本題導數的幾何意義、切點坐標的應用，導數研究函數的單調性，待定系數法求解析式，屬于中檔題．