Question

16．已知數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），且滿足a_n+2S_n=2n+2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{3（{a_1}-2）（{a_2}-2）}}+\frac{1}{{{3^2}（{a_2}-2）（{a_3}-2）}}+…+\frac{1}{{{3^n}（{a_n}-2）（{a_{n+1}}-2）}}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+2S_n=2n+2，利用遞推關系可得：3a_n=a_n-1+2，變形為${a_n}-1=\frac{1}{3}（{a_{n-1}}-1）（n≥2）$，再利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）利用“裂項求和”方法與數列的單調性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵a_n+2S_n=2n+2，令n=1，得$3{a_1}=4，{a_1}=\frac{4}{3}$．
由a_n+2S_n=2n+2得  n≥2時，a_n-1+2S_n-1=2（n-1）+2，
兩式相減得；3a_n=a_n-1+2，
∴${a_n}-1=\frac{1}{3}（{a_{n-1}}-1）（n≥2）$，
∴數列{a_n-1}是以首項為${a_n}-1=\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列，
∴${a_n}-1=\frac{1}{3}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$，∴${a_n}={（\frac{1}{3}）^n}+1$．
（Ⅱ）證明：
∵$\frac{1}{{{3^n}（{a_n}-2）（{a_{n+1}}-2）}}=\frac{1}{{{3^n}•\frac{{{3^n}-1}}{3^n}•\frac{{{3^{n+1}}-1}}{{{3^{n+1}}}}}}$=$\frac{{{3^{n+1}}}}{{（{3^n}-1）•（{3^{n+1}}-1）}}=\frac{3}{2}（\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）$，
∴$\frac{1}{{3（{a_1}-2）（{a_2}-2）}}+\frac{1}{{{3^2}（{a_2}-2）（{a_3}-2）}}+…+\frac{1}{{{3^n}（{a_n}-2）（{a_{n+1}}-2）}}$
=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{26}+…+\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）$=$\frac{3}{4}-\frac{1}{{2（{3^{n+1}}-1）}}＜\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式、“裂項求和”方法、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．