Question

17．己知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點是F₂（2，0），離心率e=2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，線段MN的垂直平分線與坐標軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據焦點坐標及離心率求出待定系數a，b，即得雙曲線C的方程；
（2）設出直線l的方程，代入雙曲線C的方程，利用判別式及根與系數的關系求出MN的中點坐標，從而得到線段MN的垂直平分線方程，通過求出直平分線與坐標軸的交點，計算圍城的三角形面積，由判別式大于0，求得直線的方程．

解答 解：（1）由題設得c=2，即a²+b²=4，
離心率e=$\frac{c}{a}$=2，可得a=1，b=$\sqrt{3}$，
所以雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0）．①
點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐標滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=3}\end{array}\right.$②
將①式代入②式，整理得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0．
此方程有兩個不等實根，于是3-k²≠0，且△=（-2km）²+4（3-k²）（m²+3）＞0．
整理得m²+3-k²＞0． ③
由根與系數的關系可知線段MN的中點坐標（x₀，y₀）
滿足x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{km}{3-{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3m}{3-{k}^{2}}$．
從而線段MN的垂直平分線方程為y-$\frac{3m}{3-{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{km}{3-{k}^{2}}$）．
此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為（$\frac{4km}{3-{k}^{2}}$，0），（0，$\frac{4m}{3-{k}^{2}}$）．
由題設可得 $\frac{1}{2}$|$\frac{4km}{3-{k}^{2}}$|•|$\frac{4m}{3-{k}^{2}}$|=4．
整理得m²=$\frac{（3-{k}^{2}）^{2}}{2|k|}$=2，
解得m=±$\sqrt{2}$，滿足③成立．
可得直線方程為y=x±$\sqrt{2}$．

點評 本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．