Question

18．已知$|{\vec a}|=3，|{\vec b}|=4$，且$（{2\vec a-\vec b}）•（{\vec a+2\vec b}）≥4$，求$\vec a$與$\vec b$的夾角θ的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合題意求出cosθ的取值，再求夾角θ的取值范圍．

解答 解：由題意：$（{2\vec a-\vec b}）•（{\vec a+2\vec b}）≥4$，
∴2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$≥4；
又|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴2×9+3×3×4cosθ-2×16≥4，
解得$cosθ≥\frac{1}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴$\vec a$與$\vec b$夾角θ的取值范圍是$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．