Question

16．已知函數f（x）=x-$\frac{a}{x}$-lnx，a＞0．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若f（x）＜x-1在（1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數f（x）的導函數，利用△分類討論導函數是否存在零點，根據導函數圖形來判斷f（x）的單調性；
（2）f（x）＞x-1，即x-$\frac{a}{x}$-lnx＞x-1，因為x∈（1，+∞），所以a＞x-xlnx．轉化為求x-xlnx的最大值；

解答 解：（1）定義域為（0，+∞），由于f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，
令m（x）=x²-x+a，
①當△=1-4a≤0，即a≥$\frac{1}{4}$時，f′（x）≥0恒成立，所以函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；
②當△=1-4a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時，由x²-x+a＞0，得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$．
所以f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞）上是增函數，在（$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$）上是減函數．
（2）f（x）＞x-1，即x-$\frac{a}{x}$-lnx＞x-1，
因為x∈（1，+∞），所以a＞x-xlnx．
令g（x）=x-xlnx，g′（x）=-lnx，即g′（x）＜0，
故g（x）=x-xlnx在（1，+∞）上為減函數，
g（x）＜g（1）=1，所以a≥1．

點評 本題主要考查了利用導數與分類討論法判斷函數圖形的單調性，以及利用單調性求函數最值，屬中等題．