Question

4．已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為$2\sqrt{2}$，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求弦長|PQ|．

Answer 1

分析 （1）由題意設出橢圓方程，結合已知及隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）求出直線l的方程，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由根與系數的關系求得P，Q的橫坐標的和與積，再由弦長公式得答案．

解答 解：（1）由已知，橢圓方程可設為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$．
∵長軸長為$2\sqrt{2}$，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即$2a=2\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$a=\sqrt{2}，b=c=1$．
∴所求橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）∵直線l過橢圓右焦點F（1，0），且斜率為1，∴直線l的方程為y=x-1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由 $\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ y=x-1\end{array}\right.$，消y 得：3x²-4x=0，
由韋達定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{4}{3}，{x_1}•{x_2}=0$．
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-0}=\sqrt{2}×\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查弦長公式的應用，是中檔題．