Question

11．已知$\overrightarrow a$為單位向量，|$\overrightarrow b$|=2，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題中的真命題是（　　）
p₁：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＞$\sqrt{3}$?θ∈[0，$\frac{2π}{3}$），
p₂：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＞$\sqrt{3}$?θ∈（$\frac{2π}{3}$，π]），
p₃：|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＞$\sqrt{3}$?θ∈[0，$\frac{π}{3}$）    
p₄：|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＞$\sqrt{3}$?θ∈（$\frac{π}{3}$，π]．

• A． p₁，p₄
• B． p₁，p₃
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p

Answer 1

分析 根據(jù)條件，對(duì)不等式$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|＞\sqrt{3}$兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可求出cosθ的范圍，進(jìn)而得出θ的范圍，而同理可由$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|＞\sqrt{3}$求出夾角θ的范圍．

解答 解：根據(jù)條件，①若$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|＞\sqrt{3}$，則：
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}＞3$；
即${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+4+4cosθ＞3$；
∴$cosθ＞-\frac{1}{2}$；
∴$θ∈[0，\frac{2π}{3}）$；
∴命題p₁為真命題；
②若$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|＞\sqrt{3}$，則：
1+4-4cosθ＞3；
∴$cosθ＜\frac{1}{2}$；
∴$θ∈（\frac{π}{3}，π]$；
∴命題p₄為真命題．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查充要條件的概念，不等式的性質(zhì)，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量夾角的范圍，熟悉余弦函數(shù)的圖象．