Question

1．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）左焦點(diǎn)F的弦AB⊥x軸，E為雙曲線的右頂點(diǎn)，若△ABE為直角三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用雙曲線的對稱性及直角三角形，可得∠AEF=45°，從而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到關(guān)于a，b，c的等式，即可求出離心率的值．

解答 解：∵△ABE是直角三角形，
∴∠AEB=90°
∵雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，
∴∠AEF=∠BEF=45°，
∴|AF|=|EF|，
∵F為左焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（-c，0）
∴|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|EF|=a+c
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=a+c，即c²-ac-2a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，
∴e²-e-2=0，解得：e=-1，或e=2，
∵e＞1，
∴e=2
故選：A．

點(diǎn)評 本題給出雙曲線離心率的離心率公式．考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．