Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3x-19\;\;\;（x≤0）\\{e^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x＞0）\end{array}\right.$，若函數y=f（x）與y=kx恰有兩個不同的交點時，則實數k的取值范圍（　　）

• A． （1，e）
• B． [1，3]
• C． （3，+∞）
• D． （e，3]

Answer 1

分析 直線y=kx繞原點旋轉時，與曲線y=e^x相切，和y=3x-1平行的情況，設出切點，列出方程，求出切線的斜率，然后觀察即可得到k的取值范圍．

解答 解：直線y=kx繞原點旋轉時，與曲線y=e^x相切，和y=3x-19平行的情況，
令切點為（m，n），則n=e^m，e^m=k，n=km，
解得m=1，n=e，k=e，
當k＞3時，有三個交點，
當e＜k≤3時，有兩個交點．
故方程f（x）-kx=0恰有兩個不同的實根時，
則實數k的取值范圍是（e，3]．
故選：D．

點評 本題考查分段函數的圖象及運用，考查方程的根的個數轉化為函數的圖象交點個數，考查數形結合的能力，屬于中檔題．