Question

15．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓的方程；
（2）設直線kx-y+5=0與圓相交于A，B兩點，求實數k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數k，使得過點P（2，-4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設出圓心坐標，利用圓與直線4x+3y-29=0相切，圓心的橫坐標是整數，即可求得圓C的方程；
（2）利用圓心到直線的距離小于半徑，可求實數k的取值范圍；
（3）假設存在，則PC⊥AB，由此可得結論．

解答 解：（1）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，
所以，$\frac{{|{4m-29}|}}{5}=5$，即|4m-29|=25．…（2分）
因為m為整數，故m=1．
故所求的圓的方程是（x-1）²+y²=25．…（4分）
（2）直線kx-y+5=0即y=kx+5．代入圓的方程，消去y整理，得：（k²+1）x²+2（5k-1）x+1=0．…（6分）
由于直線kx-y+5=0交圓于A，B兩點，故△=4（5k-1）²-4（k²+1）＞0，…（7分）
即12k²-5k＞0，解得 k＜0，或$k＞\frac{5}{12}$．
所以實數k的取值范圍是$（-∞，0）∪（\frac{5}{12}，+∞）$．…（8分）
（3）設符合條件的實數k存在，由（2）得k≠0，則直線l的斜率為$-\frac{1}{k}$，
l的方程為$y=-\frac{1}{k}（x-2）-4$，即x+ky-2+4k=0．…（9分）
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上．
所以1+0-2+4k=0，解得$k=\frac{1}{4}$．…（11分）
由于$\frac{1}{4}∉（-∞，0）∪（\frac{5}{12}，+∞）$，
故不存在實數k，使得過點P（2，-4）的直線l垂直平分弦AB．…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．