Question

3．已知過點P（m，n）的直線l與直線l₀：x+2y+4=0垂直．
（Ⅰ） 若$m=\frac{1}{2}$，且點P在函數$y=\frac{1}{1-x}$的圖象上，求直線l的一般式方程；
（Ⅱ） 若點P（m，n）在直線l₀上，判斷直線mx+（n-1）y+n+5=0是否經過定點？若是，求出該定點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）點P在函數$y=\frac{1}{1-x}$的圖象上，可得點$P（{\frac{1}{2}，2}）$，利用相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出．
（Ⅱ）點P（m，n）在直線l₀上，可得m+2n+4=0，即m=-2n-4，代入mx+（n-1）y+n+5=0中，整理得n（-2x+y+1）-（4x+y-5）=0，由$\left\{\begin{array}{l}-2x+y+1=0\\ 4x+y-5=0\end{array}\right.$，解得即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點P在函數$y=\frac{1}{1-x}$的圖象上，$n=\frac{1}{1-m}=2$，即點$P（{\frac{1}{2}，2}）$…（2分）
由x+2y+4=0，得$y=-\frac{1}{2}x-2$，即直線l₀的斜率為$-\frac{1}{2}$，
又直線l與直線l₀垂直，則直線l的斜率k滿足：$-\frac{1}{2}k=-1$，即k=2，…（4分）
所以直線l的方程為$y-2=2（{x-\frac{1}{2}}）$，一般式方程為：2x-y+1=0．…（6分）
（Ⅱ）點P（m，n）在直線l₀上，所以m+2n+4=0，即m=-2n-4，…（8分）
代入mx+（n-1）y+n+5=0中，整理得n（-2x+y+1）-（4x+y-5）=0，…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}-2x+y+1=0\\ 4x+y-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，
故直線mx+（n-1）y+n+5=0必經過定點，其坐標為（1，1）．…（12分）

點評 本題考查了直線相互垂直的充要條件、直線系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．