Question

13．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點，點A是C₁，C₂的公共點．設C₁，C₂的離心率分別是e₁，e₂，∠F₁AF₂=2θ，則（　　）

• A． ${e_1}^2{sin^2}θ+{e_2}^2{cos^2}θ=e_1^2e_2^2$
• B． ${e_2}^2{sin^2}θ+{e_1}^2{cos^2}θ=e_1^2e_2^2$
• C． ${e_2}^2{sin^2}θ+{e_1}^2{cos^2}θ=1$
• D． ${e_1}^2{sin^2}θ+{e_2}^2{cos^2}θ=1$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}_{2}^{2}}{tanθ}$，以及離心率以及a，b，c的關(guān)系即可求出答案．

解答 解：根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²tanθ，
∵e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，
∴a₁=$\frac{c}{{e}_{1}}$，
∴b₁²=a₁²-c²=$\frac{{c}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$-c²，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=c²（$\frac{1-{e}_{1}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$）tanθ
根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}_{2}^{2}}{tanθ}$，
∵a₂=$\frac{c}{{e}_{2}}$，
∴b₂²=c²-a₂²=c²-$\frac{{c}^{2}}{{e}_{2}^{2}}$=c²（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=c²（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）•$\frac{1}{tanθ}$，
∴c²（$\frac{1-{e}_{1}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$）tanθ=c²（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）•$\frac{1}{tanθ}$，
∴（$\frac{1-{e}_{1}^{2}}{{e}_{1}^{2}}$）sin²θ=（$\frac{{e}_{2}^{2}-1}{{e}_{2}^{2}}$）•cos²θ，
∴${e_2}^2{sin^2}θ+{e_1}^2{cos^2}θ=e_1^2e_2^2$，
故選：B

點評 本題考查了圓錐曲線的幾何性質(zhì)，以及橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于中檔題．