Question

【題目】已知圓C過點,且與圓外切于點,過點作圓C的兩條切線PM,PN,切點為M,N.

(1)求圓C的標準方程;

(2)試問直線MN是否恒過定點?若過定點,請求出定點坐標.

Answer 1

【答案】(1).(2)直線MN過定點.

【解析】

（1）由題意可知圓C的圓心在y軸上,設半徑為r,則圓心,再由圓C過點，代入解得，即可得到圓的方程.

（2）由題意可得,則M,N,P,C四點共圓,且該圓以PC為直徑,圓心坐標為,即可得到圓的方程，再求出兩圓的公共弦的方程即可得解.

解:(1)由題意可知圓C的圓心在y軸上,設半徑為r,則圓心,

故圓C的標準方程為.

因為圓C過點,所以,解得,

故圓C的標準方程為.

(2)由題意可得,則M,N,P,C四點共圓,且該圓以PC為直徑,圓心坐標為,

故該圓的方程是,即.

因為圓C的方程為,所以公共弦MN所在直線方程為,

整理得.

令解得

故直線MN過定點.