Question

1．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相同的單位長度，已知直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的極坐標方程是ρcos²θ=2sinθ．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，點M為AB的中點，點P的極坐標為$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，求|PM|的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數t得直線l的普通方程，利用極坐標與直角坐標互化方法求曲線C的直角坐標方程；
（2）求出M，P的直角坐標，即可求|PM|的值．

解答 解：（1）因為直線的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
消去參數t得直線l的普通方程為x-y+3=0…（2分）
由曲線C的極坐標方程ρcos²θ=2sinθ，
得ρ²cos²θ=2ρsinθ，…（3分）
所以曲線C的直角坐標方程為x²=2y．…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，消去y得x²-2x-6=0…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB的中點$M（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$．
因為 x₁+x₂=2，∴M（1，4）…（8分）
又點P的直角坐標為（1，1），…（9分）
所以$|{PM}|=\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（4-1）}^2}}=3$…（10分）

點評 本題考查了直角坐標方程化為參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與拋物線的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．