Question

12．某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統計結果繪成頻率分別直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數相同，甲班學生每天平均學習時間在區間[2，4]的有8人．

（Ⅰ）求直方圖中a的值及甲班學生每天平均學習時間在區間[10，12]的人數；
（Ⅱ）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖的性質即可得出．
（2）（2）乙班學習時間在區間[10，12]的人數為40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班學習時間在區間[10，12]的人數為3人．在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布列的計算公式及其數學期望計算公式即可得出．

解答 解：（1）由直方圖知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，
因為甲班學習時間在區間[2，4]的有8人，所以甲班的學生人數為$\frac{8}{0.2}=40$．
所以甲、乙兩班人數均為40人，所以甲班學習時間在區間[10，12]的人數為40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班學習時間在區間[10，12]的人數為40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班學習時間在區間[10，12]的人數為3人．在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，ξ的所有可能取值為0，1，2，3.$P（ξ=0）=\frac{C_3^0C_4^4}{C_7^4}=\frac{1}{35}$，$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3C_4^1}{C_7^4}=\frac{4}{35}$．
所以隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

$Eξ=0×\frac{1}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{4}{35}=\frac{12}{7}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、超幾何分布列的計算公式及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．