Question

5．已知f（x）=|x-1|-|2x+3|．
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）關于x的不等式f（x）≤$\frac{3}{2}$a²-a的解集為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區間上的x的范圍，取并集即可；
（2）求出f（x）的范圍，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{3}{2}}\\{1-x+（2x+3）＞2}\end{array}\right.$，①，
或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}＜x＜1}\\{1-x-（2x+3）＞2}\end{array}\right.$，②，
或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1-（2x+3）＞2}\end{array}\right.$，③，
解①得：-2＜x≤-$\frac{3}{2}$，
解②得：-$\frac{3}{2}$＜x＜-$\frac{4}{3}$，
解③得：x∈∅，
綜上得解集為：{x|-2＜x＜-$\frac{4}{3}$}；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，x≤-\frac{3}{2}}\\{-3x-2，-\frac{3}{2}＜x＜1}\\{-x-4，x≥1}\end{array}\right.$，
  f（x）∈$\left\{\begin{array}{l}{（-∞，\frac{5}{2}]，x≤-\frac{3}{2}}\\{（-5，\frac{5}{2}），-\frac{3}{2}＜x＜1}\\{（-∞，-5]，x≥1}\end{array}\right.$ 
∴$\frac{3}{2}$a²-a≥$\frac{5}{2}$，解得：a≥$\frac{5}{3}$或a≤-1．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數的最值問題以及轉化思想、分類討論思想，是一道中檔題．