Question

16．在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b）滿足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個(gè)均值點(diǎn)．若函數(shù)f（x）=-x²+mx+1是[-1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=-x²+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，故有-x²+mx+1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，求出方程的根，讓其在（-1，1）內(nèi)，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-x²+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，
∴關(guān)于x的方程-x²+mx+1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根．
即-x²+mx+1=m在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根．
即x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必為均值點(diǎn)，
即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2）．
故答案為：（0，2）

點(diǎn)評(píng) 本題主要是在新定義下考查二次方程根的問(wèn)題．在做關(guān)于新定義的題目時(shí)，一定要先認(rèn)真的研究定義理解定義，再按定義做題．