Question

12．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都相等，D，E分別是AB，A₁C₁的中點(diǎn)，如圖所示．
（1）求證：DE∥平面BCC₁B₁；
（2）求DE與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，則EF∥CC₁，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC₁B₁，于是DE∥平面BCC₁B₁．
（2）在Rt△DEF中求出tan∠EDF．

解答 （1）證明：取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，
∵D，E，F(xiàn)分別是AB，A₁C₁，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥CC₁，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC₁=C，
∴平面DEF∥平面BCC₁B₁，
又DE?平面DEF，
∴DE∥平面BCC₁B₁．
（2）解：∵EF∥CC₁，CC₁⊥平面BCC₁B₁．
∴EF⊥平面BCC₁B₁，
∴∠EDF是DE與平面ABC所成的角，
設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為1，則DF=$\frac{1}{2}$，EF=1，
∴tan∠EDF=$\frac{EF}{DF}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．