Question

6．將$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥4）個正實數排成如圖所示n行n列的三角形數陣（如圖）：其中每一列的數成等比數列，并且所有的公比相等，從第三行起每一行的數成等差數列．已知a₂₂=$\frac{3}{4}，{a_{41}}=\frac{1}{8}，{a_{43}}=\frac{1}{4}$，則a₁₁+a₂₂+…+a_nn=$3-\frac{n+3}{2^n}$．

Answer 1

分析 求出a_nn=（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用錯位相減法求和，即可得出結論．

解答 解：∵a₂₂=$\frac{3}{4}，{a_{41}}=\frac{1}{8}，{a_{43}}=\frac{1}{4}$，每一列的數成等比數列，
并且所有的公比相等，從第三行起每一行的數成等差數列，
∴a_nn=（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S=2$•\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S=2$•\frac{1}{{2}^{2}}$+3$•\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（n+1）$•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減，整理可得S=$3-\frac{n+3}{2^n}$，
故答案為$3-\frac{n+3}{2^n}$．

點評 本題考查歸納推理，考查錯位相減法求和，屬于中檔題．