Question

6．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且點P（2，1）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點A、B都在橢圓C上，且AB中點M在線段OP（不包括端點）上．求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列出關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）利用“點差法”求出A，B所在直線的斜率，設出直線方程，與橢圓方程聯立，由弦長公式求得弦長，再由點到直線的距離公式求出原點到直線AB的距離，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{6}，b=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），直線AB的斜率為k，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，兩式作差可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{3}=0$，得$\frac{2{x}_{0}}{6}+\frac{2{y}_{0}}{3}•k=0$，
又直線OP：$y=\frac{1}{2}x$，M在線段OP上，
∴${y}_{0}=\frac{1}{2}{x}_{0}$，解得k=-1．
設直線AB的方程為y=-x+m，m∈（0，3），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得3x²-4mx+2m²-6=0，
△=16m²-12（2m²-6）=72-8m²＞0，得-3＜m＜3．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-6}{3}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+（-1）^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{4}{3}\sqrt{9-{m}^{2}}$，原點到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}\sqrt{9-{m}^{2}}•\frac{|m|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{（9-{m}^{2}）{m}^{2}}≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
當且僅當$m=\frac{3\sqrt{2}}{2}$∈（0，3）時，等號成立．
∴△OAB面積的最大值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．