Question

1．關于x的不等式x²-（2a+1）x+（a²+a-2）＞0、x²-（a²+a）x+a³＜0的解集分別為M和N
（1）試求M和N
（2）若M∩N=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解不等式x²-（2a+1）x+（a²+a-2）＞0，得集合M；解不等式x²-（a²+a）x+a³＜0，得集合N；
（2）討論a的取值，得出M∩N=∅時a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式x²-（2a+1）x+（a²+a-2）＞0，
變形得：（x-a+1）（x-a-2）＞0，
解得：x＜a-1或x＞a+2，即M=（-∞，a-1）∪（a+2，+∞），
不等式x²-（a²+a）x+a³＜0，
變形得：（x-a²）（x-a）＜0，
當a＞1或a＜0時，解集為：a＜x＜a²，即N=（a，a²）；
當0＜a＜1時，解集為：a²＜x＜a，即N=（a²，a）；
當a=0或a=1時，解集為空集，即N=∅；
（2）當a＜0或＞1時，
∵a＞a-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0或a＞1}\\{{a}^{2}≤a+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0或a＞1}\\{-1≤a≤2}\end{array}\right.$，
即取-1≤a＜0或1＜a≤2；
當0＜a＜1時，
∵a＜a+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}≥a-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a∈R}\end{array}\right.$，
即取0＜a＜1；
∴當a=0或a=1時，
∵B=∅，
∴A∩B=∅，
即取a=0或a=1；
綜上：-1≤a≤2．

點評 本題考查了交集及其運算，以及分類討論思想的應用問題，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．