Question

14．為促進義務教育的均衡發展，各地實行免試就近入學政策，某地區隨機調查了50人，他們年齡的頻數分布及贊同“就近入學”人數如表：

年齡	[5，15）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）
頻數	5	10	15	10	5	5
贊同	4	5	12	8	2	1

（1）在該樣本中隨機抽取3人，求至少2人支持“就近入學”的概率．
（2）若對年齡在[5，15），[35，45）的被調查人中各隨機選取2兩人進行調查，記選中的4人支持“就近入學”人數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）設“在該樣本中隨機抽取3人，至少2人支持就近入學”的事件為A，利用互斥事件概率計算公式能求出至少2人支持“就近入學”的概率．
（2）隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）設“在該樣本中隨機抽取3人，至少2人支持就近入學”的事件為A，
則至少2人支持“就近入學”的概率P（A）=$\frac{{C}_{32}^{2}{C}_{18}^{1}+{C}_{32}^{3}}{{C}_{50}^{3}}$=$\frac{124}{175}$．
（2）隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{225}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{45}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{104}{225}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{75}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{225}$	$\frac{7}{45}$	$\frac{104}{225}$	$\frac{28}{75}$

E（X）=$1×\frac{2}{225}+2×\frac{7}{47}+3×\frac{104}{225}+4×\frac{28}{75}$=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法及應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．