Question

4．已知函數f（x）=2^2x-2^x+1+3．
（1）若x∈[-1，2]，求f（x）的最大值；
（2）求f（x）在[m，0]的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用2^2x=（2^x）²，把看似不識的函數轉化為f（x）=h（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2．再利用的二次函數求解．
（2）若x∈[m，0]，即m≤0時，則t∈[2^m，2]，結合函數h（t）的圖象可知，∴f（x）_min=h（1）=2，f（x）_max=h（2^m）=2^2m-2 ^m+1+3．

解答 解：∵f（x）=2^2x-2•2^x+3，令2^x=t，所以f（x）=h（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2．
（1）若x∈[-1，2]，則$t∈[{\frac{1}{2}，4}]$，當t=4時，h（t）_max=h（4）=11．
（2）若x∈[m，0]，即m≤0時，則t∈[2^m，1]，當0＜2^m≤1，結合函數h（t）的圖象可知，h（t）在[2^m，]1上遞減，
∴f（x）_min=h（1）=2，f（x）_max=h（2^m）=2^2m-2 ^m+1+3．

點評 本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，問題的關鍵是能否把我們不熟悉的函數轉化為我們熟悉的二次函數．而且采用換元法轉化函數的時候，一定要注意換元后變量的范圍．