Question

12．在△ABC中，點A（1，1），點B（3，3），點C在x軸上，當cos∠ACB取得最小值時，點C的坐標為（$\sqrt{6}$，0）．

Answer 1

分析 設C（x，0），則當cos∠ACB取得最小值時，tan∠ACB取得最大值．利用夾角公式，結合基本不等式，即可得出結論．

解答 解：設C（x，0），則當cos∠ACB取得最小值時，tan∠ACB取得最大值．
∵點A（1，1），點B（3，3），
∴tan∠ACB=$\frac{\frac{-1}{x-1}-\frac{-3}{x-3}}{1+\frac{-1}{x-1}•\frac{-3}{x-3}}$=$\frac{2}{x+\frac{6}{x}-4}$，
由題意，x＞0，x+$\frac{6}{x}$≥2$\sqrt{6}$，即x=$\sqrt{6}$時，tan∠ACB取得最大值．
∴C（$\sqrt{6}$，0）．
故答案為（$\sqrt{6}$，0）．

點評 本題考查斜率的計算，考查夾角公式，基本不等式的運用，屬于中檔題．