Question

20．設函數f（x）=（x²-2ax）lnx+bx²，a，b∈R．
（1）當a=1，b=-1時，設g（x）=（x-1）²lnx+x，求證：對任意的x＞1，g（x）-f（x）＞x²+x+e-e²；
（2）當b=2時，若對任意x∈[1，+∞），不等式2f（x）＞3x²+a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）g（x）-f（x）＞x²+x+e-e^x等價于e^x+lnx-e＞0，令h（x）=e^x+lnx-e，則$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x}＞0$，可知函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增，即可證明結論；
（2）不等式2f（x）＞3x²+a等價于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0，構造函數，先求出a的范圍，再驗證即可．

解答 （1）證明：當a=1，b=-1時，f（x）=（x²-2x）lnx-x²，
所以g（x）-f（x）＞x²+x+e-e^x等價于e^x+lnx-e＞0，
令h（x）=e^x+lnx-e，則$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x}＞0$，可知函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
所以h（x）＞h（1），即e^x+lnx＞e，亦即e^x+lnx-e＞0；
（2）解：當b=2時，f（x）=（x²-2ax） lnx+2x²，a∈R，
所以不等式2f（x）＞3x²+a等價于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0，
令p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
則p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0在[1，+∞）上恒成立，所以p（1）=1-a＞0，所以a＜1，
又p（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1），
顯然當a＜1時，p（x）＞0，則函數p（x）在[1，+∞）上單調遞增，
所以p（x）_min=p（1）=1-a＞0，所以a＜1，
綜上可知a的取值范圍為（-∞，1）．

點評 本題考查了導數知識的綜合運用，考查函數的最值的問題，以及參數的取值范圍，屬于中檔題．