Question

11．已知數列{a_n}滿足a₁=$\frac{5}{3}$，3a_n+1-2a_n=2n+5．
（1）求證：數列{a_n-2n+1}為等比數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由條件構造3[a_n+1-2（n+1）+1]=2（a_n-2n+1），再由等比數列的定義，即可得證；
（2）由（1）可得a_n-2n+1=（$\frac{2}{3}$）ⁿ，即a_n=（$\frac{2}{3}$）ⁿ+（2n-1），再由數列的求和方法：分組求和，運用等差數列和等比數列的求和公式，即可得到．

解答 解：（1）證明：數列{a_n}滿足a₁=$\frac{5}{3}$，3a_n+1-2a_n=2n+5，
可得3[a_n+1-2（n+1）+1]=2（a_n-2n+1），
令b_n=a_n-2n+1，則b_n+1=$\frac{2}{3}$b_n，
且b₁=a₁-2+1=$\frac{2}{3}$，
則數列{a_n-2n+1}為首項和公比均為$\frac{2}{3}$的等比數列；
（2）由（1）可得a_n-2n+1=（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
即a_n=（$\frac{2}{3}$）ⁿ+（2n-1），
數列{a_n}的前n項和S_n=[$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{9}$+…+（$\frac{2}{3}$）ⁿ]+（1+3+…+2n-1）
=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}）}{1-\frac{2}{3}}$+$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）
=n²+2-$\frac{{2}^{n+1}}{{3}^{n}}$．

點評 本題考查等比數列的定義和求和公式的運用，以及數列的求和方法：分組求和，同時考查構造法，屬于中檔題．