Question

1．已知函數f（x）=$\frac{2}{x-1}$，x∈[2，6]
（1）求證：函數f（x）是區(qū)間[2，6]上的減函數；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[2，6]內的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據定義法，證明函數的單調性即可；
（2）根據函數在區(qū)間[2，6]上是減函數，故最大值在左端點取到，最小值在右端點取到，求出兩個端點的值即可．

解答 （1）證明：設x₁、x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數y=$\frac{2}{x-1}$是區(qū)間[2，6]上的減函數；
（2）解：由（1）得：
函數y=$\frac{2}{x-1}$在區(qū)間的兩個端點上分別取得最大值與最小值，
即當x=2時，y_max=2；
當x=6時，y_min=$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查函數的單調性，用單調性求最值是單調性的最重要的應用．